РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2345 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Тригонометрические уравнения

Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $косинус 10x плюс косинус 6x плюс косинус 2x = 0$ на промежутке (– 110°; 0°).

Решение. Решим уравнение, применяя формулу суммы косинусов:

$косинус 10x плюс косинус 6x плюс косинус 2x = 0 равносильно 2 косинус дробь: числитель: 10x минус 2x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 10x плюс 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 6x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 4x косинус 6x плюс косинус 6x = 0 равносильно косинус 6x левая круглая скобка 2 косинус 4x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 6x = 0, косинус 4x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 6x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 4x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 4x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби k = 15 градусов плюс 30 градусов k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 30 градусов плюс 90 градусов n, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 60 градусов плюс 90 градусов k, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $косинус 10x плюс косинус 6x плюс косинус 2x = 0 равносильно 2 косинус дробь: числитель: 10x минус 2x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 10x плюс 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 6x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 4x косинус 6x плюс косинус 6x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 6x левая круглая скобка 2 косинус 4x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 6x = 0, косинус 4x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 6x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 4x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 4x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби k = 15 градусов плюс 30 градусов k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 30 градусов плюс 90 градусов n, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 60 градусов плюс 90 градусов k, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $косинус 10x плюс косинус 6x плюс косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус дробь: числитель: 10x минус 2x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 10x плюс 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 6x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 4x косинус 6x плюс косинус 6x = 0 равносильно косинус 6x левая круглая скобка 2 косинус 4x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 6x = 0, косинус 4x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 6x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 4x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 4x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби k = 15 градусов плюс 30 градусов k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 30 градусов плюс 90 градусов n, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 60 градусов плюс 90 градусов k, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $косинус 10x плюс косинус 6x плюс косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус дробь: числитель: 10x минус 2x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 10x плюс 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 6x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 4x косинус 6x плюс косинус 6x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 6x левая круглая скобка 2 косинус 4x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 6x = 0, косинус 4x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 6x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 4x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 4x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби k = 15 градусов плюс 30 градусов k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 30 градусов плюс 90 градусов n, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n = 60 градусов плюс 90 градусов k, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

Отберем с помощью двойного неравенства корни, лежащие в промежутке (– 110°; 0°):

$минус 110 градусов меньше 15 градусов плюс 30 градусов k меньше 0 градусов равносильно минус 125 градусов меньше 30 градусов k меньше минус 15 градусов равносильно минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $минус 110 градусов меньше 15 градусов плюс 30 градусов k меньше 0 градусов равносильно$
$равносильно минус 125 градусов меньше 30 градусов k меньше минус 15 градусов равносильно минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

$минус 110 градусов меньше 30 градусов плюс 90 градусов n меньше 0 градусов равносильно минус 140 градусов меньше 90 градусов n меньше минус 30 градусов равносильно минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 9 конец дроби меньше n меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ $минус 110 градусов меньше 30 градусов плюс 90 градусов n меньше 0 градусов равносильно$
$равносильно минус 140 градусов меньше 90 градусов n меньше минус 30 градусов равносильно минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 9 конец дроби меньше n меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

$минус 110 градусов меньше 60 градусов плюс 90 градусов n меньше 0 градусов равносильно минус 170 градусов меньше 90 градусов n меньше минус 60 градусов равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 9 конец дроби меньше n меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ $минус 110 градусов меньше 60 градусов плюс 90 градусов n меньше 0 градусов равносильно$
$равносильно минус 170 градусов меньше 90 градусов n меньше минус 60 градусов равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 9 конец дроби меньше n меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Из первой серии корней получаем целые $k = минус 4, минус 3, минус 2, минус 1,$ которым соответствуют (в градусах) корни  $минус 105, минус 75, минус 45, минус 15.$ Из второй и третьей серий корней получаем целое n  =  – 1, которому соответствуют (в градусах) корни  $минус 60, минус 30.$ Сложим:

$минус 105 минус 75 минус 45 минус 15 минус 60 минус 30 = минус 330.$

Ответ: – 330.

Ответ: -330

2345

-330

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2345	-330